El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Propiedades de la
Algebra Booleana
·
Idempotente respecto a la primera
función: x + x = x
·
Idempotente respecto a la segunda
función: xx = x
·
Maximalidad del 1: x + 1 = 1
·
Minimalidad del 0: x0 = 0
·
Involución: x'' = x
·
Inmersión respecto a la primera
función: x + (xy) = x
·
Inmersión respecto a la segunda
función: x(x + y) = x
·
Ley de Morgan respecto a la primera
función: (x + y)' = x'y'
·
Ley de Morgan respecto a la segunda
función: (xy)' = x' + y'
Álgebra Booleana y su
aplicación en la Informática y la
computación
La
relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es
fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los
circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es
posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones
booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir
nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las
compuertas lógicas homónimas.
Uno
de los principales campos de aplicación del álgebra de Boole es la informática
en virtud del hecho de que la lógica de la computadora se basa en el sistema
binario. En los circuitos electrónicos de un ordenador la información se
tratará esencialmente como una secuencia de ceros y unos.
Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de
distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras
áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se
llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la
máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones
que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en
la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole.
Álgebra de Boole aplicada a la informática
Se dice que una
variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico
o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce
en false (falso) o true (verdadero), respectivamente.
Una variable puede no
ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no son booleanos; ya
que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricos
normalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres,
finalizando en valor booleano. ..
El 0 lógico
El valor booleano de
negación suele ser representado como false, aunque también permite y equivale
al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena
"false", e incluso la cadena "0".
El 1 lógico
En cambio, el resto de
valores apuntan al valor booleano de afirmación, representado normalmente como
true, ya que, por definición, el valor 1 se tiene cuando no es 0. Cualquier
número distinto de cero se comporta como un 1 lógico, y lo mismo sucede con
casi cualquier cadena (menos la "false", en caso de ser ésta la
correspondiente al 0 lógico).
Ejemplos
El álgebra de Boole más
importante tiene sólo dos elementos, 0 y 1, y se define por las reglas
0 1 0 1 ---- ---- 0 | 0
1 0 | 0 0 1 | 1 1 1 | 0 1
Tiene aplicaciones en
la lógica, donde 0 se interpreta como "falso", 1 como
"verdadero", como "y", como "o", y ¬ es
"no". Las expresiones que involucran variables y operadores booleanos
representan proposiciones, y se puede demostrar que dos expresiones son
equivalentes usando los axiomas citados anteriormente si y sólo si las
correspondientes proposiciones son lógicamente equivalentes.
El álgebra de Boole de
dos elementos también se utiliza para diseño de circuitos en ingeniería
electrónica; aquí 0 y 1 representan los dos posibles estados en circuitos
digitales con respecto al voltaje: 0=no conduce(circuito abierto);1=conduce(circuito
cerrado).
Los circuitos se
describen mediante expresiones que contienen variables, y dos de estas
expresiones son iguales si y sólo si los correspondientes circuitos tienen el
mismo comportamiento de entrada y salida. Además, cada posible comportamiento
de entrada-salida puede ser expresado mediante una expresión booleana.
El álgebra de Boole de
dos elementos también es importante en la teoría general de las álgebras de
Boole, porque una ecuación que implica varias variables es cierta en todas las
álgebras booleanas si y sólo si es cierta en un álgebra booleana de dos
elementos (lo cual siempre puede ser verificado utilizando el algoritmo trivial
de fuerza bruta). Esto puede aplicarse para demostrar que las siguientes leyes
(Teoremas del consenso) son válidos en todas las álgebras booleanas:
(a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c)
(a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c)
El conjunto de partes
de un conjunto dado S forma el álgebra de Boole con las dos operaciones = unión
and = intersección. El elemento mínimo 0 es el conjunto vacío y el elemento
máximo 1 es el propio conjunto S.
El conjunto formado por
todos los subconjuntos de S que son finitos o cofinitos es el álgebra de Boole.
Para todo número
natural n, el conjunto de todos sus divisores positivos forma una retícula
distributiva si definimos a ≤ b como a divide a b. Esta retícula es el álgebra
de Boole si y sólo si n es libre de cuadrados. El elemento mínimo 0 de este
álgebra es el número natural 1; el elemento máximo 1 de este álgebra booleana 1
es el número natural n.
Otros ejemplos del
álgebra de Boole surgen de los espacios topológicos: si X es un espacio
topológico, entonces la colección de todos los sub espacios de X que son tanto
abiertos como cerrados forman un álgebra booleana con las operaciones = unión y
= intersección.
Si R es un anillo y
definimos el conjunto de idempotentes centrales como
A = { e en R : e² = e y
ex = xe para todo x en R }
entonces el conjunto A
se convierte en el álgebra booleana con las operaciones e f = e + f − ef y e f
= ef.
Si R es un anillo y
definimos el conjunto de idempotentes centrales como
A = { e en R : e² = e y
ex = xe para todo x en R }
entonces el conjunto A
se convierte en el álgebra booleana con las operaciones e f = e + f − ef y e f
= ef
