El álgebra booleana

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.

Propiedades de la Algebra Booleana

·         Idempotente respecto a la primera función: x + x = x

·         Idempotente respecto a la segunda función: xx = x

·         Maximalidad del 1: x + 1 = 1

·         Minimalidad del 0: x0 = 0

·         Involución: x'' = x

·         Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x

·         Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x

·         Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'

·         Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

Álgebra Booleana y su aplicación  en la Informática y la computación

La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas.

Uno de los principales campos de aplicación del álgebra de Boole es la informática en virtud del hecho de que la lógica de la computadora se basa en el sistema binario. En los circuitos electrónicos de un ordenador la información se tratará esencialmente como una secuencia de ceros y unos.

            Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole.

            Álgebra de Boole aplicada a la informática

Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce en false (falso) o true (verdadero), respectivamente.

Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no son booleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres, finalizando en valor booleano. ..

El 0 lógico

El valor booleano de negación suele ser representado como false, aunque también permite y equivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena "false", e incluso la cadena "0".

El 1 lógico

En cambio, el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación, representado normalmente como true, ya que, por definición, el valor 1 se tiene cuando no es 0. Cualquier número distinto de cero se comporta como un 1 lógico, y lo mismo sucede con casi cualquier cadena (menos la "false", en caso de ser ésta la correspondiente al 0 lógico).

Ejemplos

El álgebra de Boole más importante tiene sólo dos elementos, 0 y 1, y se define por las reglas

0 1 0 1 ---- ---- 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 1 1 1 | 0 1

Tiene aplicaciones en la lógica, donde 0 se interpreta como "falso", 1 como "verdadero", como "y", como "o", y ¬ es "no". Las expresiones que involucran variables y operadores booleanos representan proposiciones, y se puede demostrar que dos expresiones son equivalentes usando los axiomas citados anteriormente si y sólo si las correspondientes proposiciones son lógicamente equivalentes.

El álgebra de Boole de dos elementos también se utiliza para diseño de circuitos en ingeniería electrónica; aquí 0 y 1 representan los dos posibles estados en circuitos digitales con respecto al voltaje: 0=no conduce(circuito abierto);1=conduce(circuito cerrado).

Los circuitos se describen mediante expresiones que contienen variables, y dos de estas expresiones son iguales si y sólo si los correspondientes circuitos tienen el mismo comportamiento de entrada y salida. Además, cada posible comportamiento de entrada-salida puede ser expresado mediante una expresión booleana.

El álgebra de Boole de dos elementos también es importante en la teoría general de las álgebras de Boole, porque una ecuación que implica varias variables es cierta en todas las álgebras booleanas si y sólo si es cierta en un álgebra booleana de dos elementos (lo cual siempre puede ser verificado utilizando el algoritmo trivial de fuerza bruta). Esto puede aplicarse para demostrar que las siguientes leyes (Teoremas del consenso) son válidos en todas las álgebras booleanas:

(a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c)

(a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c)

El conjunto de partes de un conjunto dado S forma el álgebra de Boole con las dos operaciones = unión and = intersección. El elemento mínimo 0 es el conjunto vacío y el elemento máximo 1 es el propio conjunto S.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de S que son finitos o cofinitos es el álgebra de Boole.

Para todo número natural n, el conjunto de todos sus divisores positivos forma una retícula distributiva si definimos a ≤ b como a divide a b. Esta retícula es el álgebra de Boole si y sólo si n es libre de cuadrados. El elemento mínimo 0 de este álgebra es el número natural 1; el elemento máximo 1 de este álgebra booleana 1 es el número natural n.

Otros ejemplos del álgebra de Boole surgen de los espacios topológicos: si X es un espacio topológico, entonces la colección de todos los sub espacios de X que son tanto abiertos como cerrados forman un álgebra booleana con las operaciones = unión y = intersección.

Si R es un anillo y definimos el conjunto de idempotentes centrales como

A = { e en R : e² = e y ex = xe para todo x en R }

entonces el conjunto A se convierte en el álgebra booleana con las operaciones e f = e + f − ef y e f = ef.

Si R es un anillo y definimos el conjunto de idempotentes centrales como

A = { e en R : e² = e y ex = xe para todo x en R }

entonces el conjunto A se convierte en el álgebra booleana con las operaciones e f = e + f − ef y e f = ef