ARBOLES

Desde el punto de vista conceptual, un árbol es un objeto que comienza con una raíz (root) y se extiende en varias ramificaciones o líneas (edges), cada una de las cuales puede extenderse en ramificaciones hasta terminar, finalmente en una hoja.

Los árboles representan las estructuras no-lineales y dinámicas de datos más importantes en computación. Dinámicas, puesto que la estructura árbol puede cambiar durante la ejecución de un programa. No-lineales, puesto que a cada elemento del árbol pueden seguirle varios elementos.

Propiedades

• En la ciencia de la computación definimos un árbol como un conjunto de nodos y líneas. Un nodo es un elemento de información que reside en el árbol. Una línea es un par de nodos ordenados <u,v>, y a la secuencia de líneas se le denomina ruta (path). 
• Además, los árboles tienen las siguientes propiedades:
• Tienen un nodo al que se le llama raíz del árbol. 
•  Todos los nodos, excepto la raíz, tienen una sola línea de entrada (el nodo raíz no tiene ninguna).
•  Existe una ruta única del nodo raíz a todos los demás nodos del árbol.
• Si hay una ruta <a,b>, entonces a „b‟ se le denomina „hijo‟ de „a‟ y es el nodo raíz de un subárbol.

Gráficamente puede representarse una estructura árbol de diferentes maneras y todas ellas equivalentes:

  

 CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDADES DE LOS ÁRBOLES:

1. NODO indica un elemento, o ítem, de información.
2. Todo árbol que no es vacío, tiene un único nodo raíz. 
3. Un nodo X es descendiente directo de un nodo Y, si el nodo X es apuntado por el nodo Y. X es hijo de Y. 
4. Un nodo X es antecesor directo de un nodo Y, si el nodo X apunta al nodo Y. X es padre de Y. 
5. Se dice que todos los nodos que son descendientes directos (hijos) de un mismo nodo (padre), son hermanos. 
6. Todo nodo que no tiene ramificaciones (hijos), se conoce con el nombre de terminal u hoja. 
7. Todo nodo que no es raíz, ni terminal u hoja se conoce con el nombre de interior. 
8. Grado es el número de descendientes directos de un determinado nodo. Grado del árbol es el máximo grado de todos los nodos del árbol. 
9. Niveles el número de arcos que deben ser recorridos para llegar a un determinado nodo. Por definición, la raíz tiene nivel 1. 
10. Altura del árbol es el máximo número de niveles de todos los nodos del árbol.

Ejemplo

Donde:

A es la raíz del árbol

B es hijo de AA es padre de BB y C son hermanos I,E,J,K,G,L son hojas B, D, F, C, H son; nodos interiores

El grado de nodo A es 2

Nivel del nodo A

es 1 (de f)

Nivel B es 2

Altura del árbol 4

LONGITUD DE CAMINO INTERNO Y EXTERNO

Se define la longitud de camino X como el número de arcos que deben ser recorridos para llegar desde la raíz al nodo X. Por definición la raíz tiene longitud de camino 1, sus descendientes directos longitud de camino 2 y así sucesivamente.

LONGITUD DE CAMINO INTERNO

• La longitud de camino interno es la suma de las longitudes de camino de todos los nodos del árbol. Es importante porque permite conocer los caminos que tiene el árbol. Puede calcularse por medio de la siguiente fórmula:

• Donde „i‟ representa el nivel del árbol, „h‟ su altura y „ni‟ el número de nodos en el nivel „i‟.

 Ejemplo

La LCI del árbol anterior es: LCI= 1*1 + 2*2 + 5*3 + 4*4 = 36

h=4

MEDIA DE LA LONGITUD DE CAMINO INTERNO (LCIM)

• Se calcula dividiendo la LCI entre el número de nodos del árbol (n).

• Y significa el número de arcos que deben ser recorridos en promedio para llegar, partiendo de la raíz, a un nodo cualquiera del árbol.

La LCIM del árbol anterior es:

 

 

LONGITUD DE CAMINO EXTERNO

Primero definiremos los conceptos de: 

• Árbol extendido es aquel en el que el número de hijos de cada nodo es igual al grado del árbol. Si alguno de los nodos del árbol no cumple con esta condición entonces debe incorporársele al mismo nodos especiales; tantos como sea necesario para satisfacer la condición.
• Los nodos especiales tienen como objetivo reemplazar las ramas vacías o nulas, no pueden tener descendientes y normalmente se representan con la forma de un cuadrado.

Ejemplo el número de nodos especiales de este árbol es 25, del árbol de grado 3.

 

Definición LCE

• Se puede definir ahora la longitud de camino externo como la suma de las longitudes de camino de todos los nodos especiales del árbol. Se calcula por medio de la siguiente fórmula:

• En donde „i‟ representa el nivel del árbol, „h‟ su altura y „nei‟ el número de nodos especiales en el nivel „i‟.

 

La LCE del árbol anterior es: LCE = 1*2 + 1*3 + 11*4 + 12*5 = 109

La media de la longitud de camino externo (LCEM)

• Ahora bien, se calcula dividiendo LCE entre el número de nodos especiales del árbol (ne).

• Y significa el número de arcos que deben ser recorridos en promedio para llegar, partiendo desde la raíz, a un nodo especial cualquiera del árbol.

Ejemplo

Para nuestro árbol anterior, LCEM = 109 / 25 = 4.36

Cesar Martiarena

Jesus Ponce

Daviana Barreto